Complemento ortogonal

En los campo matemáticos del álgebra lineal y del análisis funcional, el complemento ortogonal de un subespacio vectorial ${\displaystyle F}$ de un espacio vectorial ${\displaystyle E}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dotado de un producto escalar ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ es el conjunto ${\displaystyle F^{\bot }}$ de todos los vectores de ${\displaystyle E}$ que son ortogonales a todo vector de ${\displaystyle F}$. Es decir,

${\displaystyle F^{\bot }=\{u\in E:\langle u,v\rangle =0\ \ \forall v\in F\}}$

Propiedades

Proyección ortogonal

De esta última propiedad obtenemos que ${\displaystyle \forall u\in E\quad u=u_{1} u_{2}}$, con ${\displaystyle u_{1}\in F,u_{2}\in F^{\bot }}$ de forma única, por lo que podemos definir proyección ortogonal de ${\displaystyle u}$ sobre ${\displaystyle F}$ como ${\displaystyle u_{1}}$ y escribiremos que ${\displaystyle \pi _{F}(u)=u_{1}}$. Simétricamente, podemos definir la proyección ortogonal de ${\displaystyle u}$ sobre ${\displaystyle F^{\bot }}$ como ${\displaystyle u_{2}}$ y escribiremos ${\displaystyle \pi _{F^{\bot }}(u)=u_{2}}$.

Si definimos la aplicación ${\displaystyle \pi _{F}:E\rightarrow F,\ \ \ u\mapsto \pi _{F}(u)}$ tenemos que:

Bibliografía

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• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 73, Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016 .